Bilangan Bertanda Dan Bilangan Tidak Bertanda

BILANGAN BERTANDA DAN BILANGAN TIDAK BERTANDA

Bilangan bertanda adalah bilangan mengandung arti plus (+) ataupun min(-), sedangkan bilangan tidak bertanda mengandung arti semua positif.

  Kapasitas Bilangan

Kapasitas blangan bertanda atau tidak bertanda telah ditentukan oleh komputer. Cara penghitungannya adalah sebagai berikut:

ü   Kapasitas bilangan tidak bertanda atau Sign Flag menunjukkan 0, maka kompisi bit untuk angka paling besar adalah: 1111  1111  1111  1111 atau desimalnya 65535. Jadi kesimpulannya bahwa bila bilangan itu tidak bertanda, maka bilangan itu akan berkomposisi bit antara 0000  0000  0000  0000 hingga 1111  1111  1111  1111 atau 0000 hexa hingga FFFF hexa.

ü   Bilangan bertanda atau Sign Number mempunyai cara berhitungan bit yang lain dengan bilangan bertanda. Untuk bilangan bertanda, bit terakhir atau bit ke enam belas tidak dimasukkan dalam hitungan melainkan merupakan penunjuk apakah bilangan itu positif atau negatif. Untuk bilangan positif dari 0-32767 dan untuk bilangan negatif –1 hingga –32768.

  Penulisan Bit Bilangan Negatif

Pada bilangan bertanda, cara menulis bit negatif tidak sama dengan bit positif. Cara menulis bit bilangan negatif dengan angka –1 adalah 1111  1111  1111  1111 dan –2 adalah 1111 1111 1111 1110.

Kesimpulan : penulisan bilangan negatif dimulai dengan bilangan terbesar dalam komposisi 16 bit yaitu FFFF hexa dan diakhiri bilangan 1000 0000 0000 0000 (8000 hexa) sebagai bilangan negatif terbesar –32768.

  Mencari Bilangan Negatif

Apabila kita ingin mencari bilangan –20, maka hal tersebut akan susah sekali karena kita harus menghitung dari FFFFh hingga –20, untuk mempermudah gunakan rumus yang dapat mencari komposisi bit dari bilangan negatif.

Langkah – langkahnya adalah sebagai berikut:

ü   Ubah bilangan desimal negatif ke bilangan biner positif dan untuk –20 bilangan biner positifnya adalah 0001 0100.

ü   Ubahlah setiap angka 0 menjadi 1 dan angka 1 menjadi 0 dan pada –20, anda dapat melakukan 0000 0000 0001 0100 menjadi 1111 1111 1110 1011.

ü   Tambahkan bilangan 1 pada bilangan yang telah diubah dan didapat hasilnya serta pada (-)20 adalah :

1111  1111   1110  1011

1        +

1111  1111  1110  1100  (FFEX hexa)

Bilangan Biner

Sebagai contoh dari bilangan desimal, untuk angka 157:

157(10) = (1 x 100) + (5 x 10) + (7 x 1)

Perhatikan! bilangan desimal ini sering juga disebut basis 10. Hal ini dikarenakan perpangkatan 10 yang didapat dari 100, 101, 102, dst.

Mengenal Konsep Bilangan Biner dan Desimal

Perbedaan mendasar dari metoda biner dan desimal adalah berkenaan dengan basis. Jika desimal berbasis 10 (X10) berpangkatkan 10x, maka untuk bilangan biner berbasiskan 2 (X2) menggunakan perpangkatan 2x. Sederhananya perhatikan contoh di bawah ini!

Untuk Desimal:

14(10) = (1 x 101) + (4 x 100)

= 10 + 4

= 14

Untuk Biner:

1110(2) = (1 x 23) + (1 x 22) + (1 x 21) + (0 x 20)

= 8 + 4 + 2 + 0

= 14

Bentuk umum dari bilangan biner dan bilangan desimal adalah :

Biner	1	1	1	1	1	1	1	1	11111111
Desimal	128	64	32	16	8	4	2	1	255
Pangkat	27	26	25	24	23	22	21	20	X1-7

Sekarang kita balik lagi ke contoh soal di atas! Darimana kita dapatkan angka desimal 14(10) menjadi angka biner 1110(2)?

Mari kita lihat lagi pada bentuk umumnya!

Biner	0	0	0	0	1	1	1	0	00001110
Desimal	0	0	0	0	8	4	2	0	14
Pangkat	27	26	25	24	23	22	21	20	X1-7

Mari kita telusuri perlahan-lahan!

• Pertama sekali, kita jumlahkan angka pada desimal sehingga menjadi 14. anda lihat angka-angka yang menghasilkan angka 14 adalah 8, 4, dan 2!
• Untuk angka-angka yang membentuk angka 14 (lihat angka yang diarsir), diberi tanda biner “1”, selebihnya diberi tanda “0”.
• Sehingga kalau dibaca dari kanan, angka desimal 14 akan menjadi 00001110 (terkadang dibaca 1110) pada angka biner nya.

Mengubah Angka Biner ke Desimal

Perhatikan contoh!

1. 11001101(2)

Biner	1	1	0	0	1	1	0	1	11001101
Desimal	128	64	0	0	8	4	0	1	205
Pangkat	27	26	25	24	23	22	21	20	X1-7

Note:

• Angka desimal 205 didapat dari penjumlahan angka yang di arsir (128+64+8+4+1)
• Setiap biner yang bertanda “1” akan dihitung, sementara biner yang bertanda “0” tidak dihitung, alias “0” juga.

2. 00111100(2)

Biner	0	0	1	1	1	1	0	0	00111100
0	0	0	32	16	8	4	0	0	60
Pangkat	27	26	25	24	23	22	21	20	X1-7

Mengubah Angka Desimal ke Biner

Untuk mengubah angka desimal menjadi angka biner digunakan metode pembagian dengan angka 2 sambil memperhatikan sisanya.

Perhatikan contohnya!

1. 205(10)

205   : 2     = 102 sisa 1

102   : 2     = 51 sisa 0

51     : 2     = 25 sisa 1

25     : 2     = 12 sisa 1

12     : 2     = 6    sisa 0

6       : 2     = 3    sisa 0

3       : 2     = 1    sisa 1

1  à sebagai sisa akhir “1”

Note:

Untuk menuliskan notasi binernya, pembacaan dilakukan dari bawah yang berarti 11001101(2)

2. 60(10)

60     : 2     = 30 sisa 0

30     : 2     = 15 sisa 0

15     : 2     = 7    sisa 1

7       : 2     = 3    sisa 1

3       : 2     = 1    sisa 1

1   à sebagai sisa akhir “1”

Note:

Dibaca dari bawah menjadi 111100(2) atau lazimnya dituliskan dengan 00111100(2). Ingat bentuk umumnnya mengacu untuk 8 digit! Kalau 111100 (ini 6 digit) menjadi 00111100 (ini sudah 8 digit).

Aritmatika Biner

Pada bagian ini akan membahas penjumlahan dan pengurangan biner. Perkalian biner adalah pengulangan dari penjumlahan; dan juga akan membahas pengurangan biner berdasarkan ide atau gagasan komplemen.

Penjumlahan Biner

Penjumlahan biner tidak begitu beda jauh dengan penjumlahan desimal. Perhatikan contoh penjumlahan desimal antara 167 dan 235!

1    à 7 + 5 = 12, tulis “2” di bawah dan angkat “1” ke atas!

167

235

—- +

402

Seperti bilangan desimal, bilangan biner juga dijumlahkan dengan cara yang sama. Pertama-tama yang harus dicermati adalah aturan pasangan digit biner berikut:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 1 = 0   à dan menyimpan 1

sebagai catatan bahwa jumlah dua yang terakhir adalah :

1 + 1 + 1 = 1   à dengan menyimpan 1

Dengan hanya menggunakan penjumlahan-penjumlahan di atas, kita dapat melakukan penjumlahan biner seperti ditunjukkan di bawah ini:

101111                à “simpanan 1” ingat kembali aturan di atas!

01011011           à bilangan biner untuk 91

01001110           à bilangan biner untuk 78

———— +

10101001           à Jumlah dari 91 + 78 = 169

Silahkan pelajari aturan-aturan pasangan digit biner yang telah disebutkan di atas!

Contoh penjumlahan biner yang terdiri dari 5 bilangan!

11101          bilangan 1)

10110          bilangan 2)

1100           bilangan 3)

11011          bilangan 4)

1001           bilangan 5)

——– +

untuk menjumlahkannya, kita hitung berdasarkan aturan yang berlaku, dan untuk lebih mudahnya perhitungan dilakukan bertahap!

11101    bilangan 1)

10110    bilangan 2)

——- +

110011

1100    bilangan 3)

——- +

111111

11011    bilangan 4)

——- +

011010

1001    bilangan 5)

——- +

1100011     à Jumlah Akhir .

sekarang coba tentukan berapakah bilangan 1,2,3,4 dan 5! Apakah memang perhitungan di atas sudah benar?

Pengurangan Biner

Pengurangan bilangan desimal 73426 – 9185 akan menghasilkan:

73426        à lihat! Angka 7 dan angka 4 dikurangi dengan 1

9185        à digit desimal pengurang.

——— –

64241          à Hasil pengurangan akhir .

Bentuk Umum pengurangan :

0 – 0 = 0

1 – 0 = 0

1 – 1 = 0

0 – 1 = 1   à dengan meminjam ‘1’ dari digit disebelah kirinya!

Untuk pengurangan biner dapat dilakukan dengan cara yang sama. Coba perhatikan bentuk pengurangan berikut:

1111011    à desimal 123

101001    à desimal   41

——— –

1010010    à desimal 82

Pada contoh di atas tidak terjadi “konsep peminjaman”. Perhatikan contoh berikut!

0              à kolom ke-3 sudah menjadi ‘0’, sudah dipinjam!

111101        à desimal 61

10010        à desimal 18

———— –

101011        à Hasil pengurangan akhir 43 .

Pada soal yang kedua ini kita pinjam ‘1’ dari kolom 3, karena ada selisih 0-1 pada kolom ke-2. Lihat Bentuk Umum!

7999          à hasil pinjaman

800046

397261

——— –

402705

Sebagai contoh pengurangan bilangan biner 110001 – 1010 akan diperoleh hasil sebagai berikut:

1100101

1010

———- –

100111

Komplemen

Salah satu metoda yang dipergunakan dalam pengurangan pada komputer yang ditransformasikan menjadi penjumlahan dengan menggunakan minusradiks-komplemen satu atau komplemen radiks. Pertama-tama kita bahas komplemen di dalam sistem desimal, dimana komplemen-komplemen tersebut secara berurutan disebut dengan komplemen sembilan dan komplemen sepuluh (komplemen di dalam system biner disebut dengan komplemen satu dan komplemen dua). Sekarang yang paling penting adalah menanamkan prinsip ini:

“Komplemen sembilan dari bilangan desimal diperoleh dengan mengurangkan masing-masing digit desimal tersebut ke bilangan 9, sedangkan komplemen sepuluh adalah komplemen sembilan ditambah 1”

Lihat contoh nyatanya!

Bilangan Desimal                123     651     914

Komplemen Sembilan        876     348     085

Komplemen Sepuluh          877     349     086    à ditambah dengan 1!

Perhatikan hubungan diantara bilangan dan komplemennya adalah simetris. Jadi, dengan memperhatikan contoh di atas, komplemen 9 dari 123 adalah 876 dengan simple menjadikan jumlahnya = 9 ( 1+8=9, 2+7=9 , 3+6=9 )!

Sementara komplemen 10 didapat dengan menambahkan 1 pada komplemen 9, berarti 876+1=877!

Pengurangan desimal dapat dilaksanakan dengan penjumlahan komplemen sembilan plus satu, atau penjumlahan dari komplemen sepuluh!

893             893                      893

321             678 (komp. 9)        679 (komp. 10)

—- –            —- +                    —- +

572           1571                   1572

1

—- +

572  à angka 1 dihilangkan!

Analogi yang bisa diambil dari perhitungan komplemen di atas adalah, komplemen satu dari bilangan biner diperoleh dengan jalan mengurangkan masing-masing digit biner tersebut ke bilangan 1, atau dengan bahasa sederhananya mengubah masing-masing 0 menjadi 1 atau sebaliknya mengubah masing-masing 1 menjadi 0. Sedangkan komplemen dua adalah satu plus satu. Perhatikan Contoh .!

Bilangan Biner             110011      101010      011100

Komplemen Satu         001100      010101      100011

Komplemen Dua         001101      010110      100100

Pengurangan biner 110001 – 1010 akan kita telaah pada contoh di bawah ini!

110001                110001                110001

001010                110101                110110

——— –                ——— +               ——— +

100111                100111            1100111

dihilangkan!

Alasan teoritis mengapa cara komplemen ini dilakukan, dapat dijelaskan dengan memperhatikan sebuah speedometer mobil/motor dengan empat digit sedang membaca nol!

Sistem Oktal dan Heksa Desimal

Bilangan oktal adalah bilangan dasar 8, sedangkan bilangan heksadesimal atau sering disingkat menjadi heks. ini adalah bilangan berbasis 16. Karena oktal dan heks ini merupakan pangkat dari dua, maka mereka memiliki hubungan yang sangat erat. oktal dan heksadesimal berkaitan dengan prinsip biner!

1. Ubahlah bilangan oktal 63058 menjadi bilangan biner !

6       3       0       5                 à oktal

110   011   000   101             à biner

Note:

• Masing-masing digit oktal diganti dengan ekivalens 3 bit (biner)
• Untuk lebih jelasnya lihat tabel Digit Oktal di bawah!

2. Ubahlah bilangan heks 5D9316 menjadi bilangan biner !

heks   à biner

5       à 0101

D       à 1101

9       à 1001

3       à 0011

Note:

• Jadi bilangan biner untuk heks 5D9316 adalah 0101110110010011
• Untuk lebih jelasnya lihat tabel Digit Heksadesimal di bawah!

3. Ubahlah bilangan biner 1010100001101 menjadi bilangan oktal !

011   010   100   001   101             à biner

3       2       4       1       5                 à oktal

Note:

• Kelompokkan bilangan biner yang bersangkutan menjadi 3-bit mulai dari kanan!

4. Ubahlah bilangan biner 101101011011001011 menjadi bilangan heks !

0010          1101          0110          1100          1011 à biner

2                 D                6                 C                B       à heks

TABEL DIGIT OKTAL

Digit Oktal	Ekivalens 3-Bit
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

Tabel Digit Heksadesimal

Digit Desimal	Ekivalens 4-Bit
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001
A (10)	1010
B (11)	1011
C (12)	1100
D (13)	1101
E (14)	1110
F (15)	1111

Bilangan Biner Bertanda

1.Modulasi

Bilangan biner bertanda positif (+)jika Bit MSD =0

Bilangan biner bertanda negatif (-) jika Bit MSD=1

Contoh

Bilangan biner bertanda 8 bit

b0 –b6= nilai bilangan biner

                          b7= tanda

b7	b6	b5	b4	b3	b2	b1	b0	Nilai
1	1	1	1	1	1	1	0	-126
1	1	1	1	1	1	0	1	-125
1	0	0	0	0	0	0	1	-1
0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0	1	+1
0	1	1	1	1	1	0	1	+125

2 .Pengurangan dengan  komplemen

Tujuan pemakaian komplemen adalah untuk melaksanakan pengurangan dengan penjumlahan .Dalam sistem elektronika digital cara penggurangan dengan komplemen ini sangat penting dan semua sistem digital memakai cara ini.

2.1 Bilangan biner negatif komplemen-2

Bilangan negatif biner komplemen-2 digunakan dalam operasi aritmatika

Langkah-langkah:

1.mengubah nilai 0 menjadi 1

2. mengubah nilai 1 menjadi 0

3.LSB +1 ( ditambah pada digit sebelah kanan)

Contoh –contoh:

a.27=0001 1011→1110 0100+1=1110 0101

maka komplemen-2 dari 27 =-27=1110 0101

b.70=0100 0110→1011 1001+1=1011 1010

c.11=1011→(0)1011=(1)0100+1=(1)0101

d.57=0011 1001→1100 0110+1=1100 0111

1. 95=0101 1111→1010 0000+1=1010 0001
2. 24=0001 1000→1110 0111+1=1110 1000

g.78=0100 1110→1011 0001+1=1011 0010

h.92=0101 1100→1010 0011+1=1010 0100

2.2 Pengurangan dengan kompemen 2 untuk biner

Contoh-contoh:

a.100010-011010                                b.010110-101010

M=100010                                              M=010110

N=011010                                               N=101010

-N=100101                                             -N=010101

Maka 100010                                    maka 010110

100101 +                                                           010101+

1000111                                               101011

1=end carry                                                   karena tidak ada end carry,harga

Maka 000111                                    sebenarnya adalah negatif dari

101011=-010100

3. Pengurangan dengan komplemen-1

Hal –hal yang perlu diperhatikan

1.mengubah 0 menjadi 1

2.mengubah 1 menjadi 0

3.jika ada end-carry maka ditambahkan ke angka yang paling kanan hasil penambahan tersebut.yang di maksud and-carry adalah penambahan angka di kiri pada penjumlahan tersebut.

Contoh-contoh

a.100100-100010                                                 b.26-30=-4

maka 100100                                                             26=011010

011101+                                                          30=011110→011010

1000001                                                                                        100001+

1+                                                                                     111011

000010

Maka 100100-100010=000010                                               maka menjadi- 000100 / (1)000100

c.001001-001000                                                 d.001001-001110

maka 001001                                                             maka 001001

110111+                                                                     110001+

1000000                                                                        111010

1+                                                       maka menjadi -000101

000001

Maka 001001-001000=000001